一、实验目的

  1. 了解一、二阶系统阶跃响应及其性能指标与系统参数之间的关系。

  2. 学习单位阶跃响应性能指标的测试方法。

二、实验内容

  1. 建立一阶系统的模型，观测并记录时间常数T不同时的单位阶跃响应曲线，测定其调整时间(即过渡过程时间) ts。

  2. 建立二阶系统的数学模型，观测并记录不同阻尼比ζ时的单位阶跃响应曲线，测定其超调量Mp及过渡过程时间ts。

三、实验原理及实验设备

  1. 一阶系统

系统传递函数为：T(s)=K/(Ts+1)

在实验当中始终取K=1，取不同的时间常数T分别为：0.25、0.5、1.0。记录不同时间常数下单位阶跃响应曲线，测量并纪录其过渡过程时间ts，给出在时间常数不同时理论计算和实测的ts以及相应的阶跃响应曲线。

2.二阶系统

系统传递函数为：

img

在实验中始终取ωn=1弧度/秒，ξ取不同的值、分别为：0.25、0.5、0.707、1.0，观察并画出相应的单位阶跃响应曲线，测量超调量Mp，计算过渡过程时间ts。

PC机一台。

四、实验步骤

1、通过编写matlab程序，画出各种情况下系统的阶跃响应曲线，并在图中测量一阶系统在不同时间常数下的过渡过程时间ts以及二阶系统在阻尼比ξ取不同的值时的超调量Mp和过渡过程时间ts。

2、通过理论计算，算出一阶系统在不同时间常数下的过渡过程时间ts以及二阶系统在阻尼比ξ取不同的值时的超调量Mp和过渡过程时间ts。

五、实验结果

1、matlab绘制的系统的阶跃响应曲线如下图 1~2所示。

img

图 1 一阶系统的阶跃响应曲线<\center>

img

图 2 一阶系统的阶跃响应曲线<\center>

测量一阶系统在不同时间常数下的过渡过程时间ts以及二阶系统在阻尼比ξ取不同的值时的超调量Mp和过渡过程时间ts，如表 1~2所示。

表 1 测量一阶系统在不同时间常数下的过渡过程时间ts<\center>
序号 时间常数 T 过渡过程Ts / s
1 0.25 0.98
2 0.5 1.96
3 1.0 3.92
表 2 测量二阶系统在阻尼比ξ取不同的值时的超调量Mp和过渡过程时间ts<\center>
序号 阻尼比 ξ 超调量Mp Ts / s
1 0.25 44.4339% 14.12
2 0.5 16.3033% 8.08
3 0.707 4.3255% 5.97
4 1.0 0% 5.84

2、通过理论计算，算出一阶系统在不同时间常数下的过渡过程时间ts以及二阶系统在阻尼比ξ取不同的值时的超调量Mp和过渡过程时间ts，如表 3~4所示。

表 3 计算一阶系统在不同时间常数下的过渡过程时间ts<\center>
序号 时间常数 T 过渡过程Ts / s
1 0.25 1.00
2 0.5 2.00
3 1.0 4.00
表 4 计算二阶系统在阻尼比ξ取不同的值时的超调量Mp和过渡过程时间ts<\center>
序号 阻尼比 ξ 超调量Mp Ts / s
1 0.25 44.4344% 16.00
2 0.5 16.3034% 8.00
3 0.707 4.3255% 5.66
4 1.0 0% 4.00

六、结果分析

一阶系统的过渡过程时间随着时间常数T的增加成比例增加；二阶系统的超调量Mp和时间常数T随着阻尼比ξ的增加而减小，当阻尼比为1时，超调量最小为0。实验数据与测试结果存在误差，其可能的原因是：matlab计算时，自变量t的间隔比较大，使其得到的曲线与真实曲线之间存在差距。

七、收获、体会及建议

了解了一、二阶系统阶跃响应及其性能指标与系统参数之间的关系，学习了单位阶跃响应性能指标的测试方法。

附matlab代码：

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139
140
141
142
clc
clear all
syms s

K = 1;
t = 0:0.01:4;

% 一阶系统
Ts125 = K / (0.25 * s + 1);
Ys125 = Ts125 / s;
yt125 = ilaplace(Ys125);
yt125 = subs(yt125);

Ts15 = K / (0.5 * s + 1);
Ys15 = Ts15 / s;
yt15 = ilaplace(Ys15);
yt15 = subs(yt15);

Ts1 = K / (1 * s + 1);
Ys1 = Ts1 / s;
yt1 = ilaplace(Ys1);
yt1 = subs(yt1);

for i = 1:length(t)-1
    if( (double(yt125(i))<=0.98) && (double(yt125(i+1))>=0.98))
        ts125 = i/100
    end
    if( (double(yt15(i))<=0.98) && (double(yt15(i+1))>=0.98))
        ts15 = i/100
    end
    if( (double(yt1(i))<=0.98) && (double(yt1(i+1))>=0.98))
        ts1 = i/100
    end
end

figure(1)
subplot(3,1,1)
plot(t,yt125)
title('一阶系统的阶跃响应曲线 - T = 0.25')
ylabel('y(t)');
xlabel('t');
grid on
axis([0 4 0 1.5]);
hold on
subplot(3,1,2)
plot(t,yt15)
title('一阶系统的阶跃响应曲线 - T = 0.5')
ylabel('y(t)');
xlabel('t');
grid on
axis([0 4 0 1.5]);
hold on
subplot(3,1,3)
plot(t,yt1)
title('一阶系统的阶跃响应曲线 - T = 1.0')
ylabel('y(t)');
xlabel('t');
grid on
axis([0 4 0 1.5]);
hold on

% 二阶系统
t = 0:0.01:20;
w = 1;

Ts225 = w*w / (s*s + 2*0.25*w*s + w*w);
Ys225 = Ts225 / s;
yt225 = ilaplace(Ys225);
yt225 = subs(yt225);

Ts25 = w*w / (s*s + 2*0.5*w*s + w*w);
Ys25 = Ts25 / s;
yt25 = ilaplace(Ys25);
yt25 = subs(yt25);

Ts27 = w*w / (s*s + 2*0.707*w*s + w*w);
Ys27 = Ts27 / s;
yt27 = ilaplace(Ys27);
yt27 = subs(yt27);

Ts2 = w*w / (s*s + 2*1*w*s + w*w);
Ys2 = Ts2 / s;
yt2 = ilaplace(Ys2);
yt2 = subs(yt2);

for i = 1:length(t)-1
    if( (double(yt225(i))<=0.98) && (double(yt225(i+1))>=0.98))||( (double(yt225(i))>=1.02) && (double(yt225(i+1))<=1.02))
        ts225 = i/100;
    end
    if( (double(yt25(i))<=0.98) && (double(yt25(i+1))>=0.98))||( (double(yt25(i))>=1.02) && (double(yt25(i+1))<=1.02))
        ts25 = i/100;
    end
    if( (double(yt27(i))<=0.98) && (double(yt27(i+1))>=0.98))||( (double(yt27(i))>=1.02) && (double(yt27(i+1))<=1.02))
        ts27 = i/100;
    end
    if( (double(yt2(i))<=0.98) && (double(yt2(i+1))>=0.98))||( (double(yt2(i))>=1.02) && (double(yt2(i+1))<=1.02))
        ts2 = i/100;
    end
end

Mp25 = roundn(double((max(yt225)-1)),-6)*100
ts225
Mp5 = roundn(double((max(yt25)-1)),-6)*100
ts25
Mp7 = roundn(double((max(yt27)-1)),-6)*100
ts27
Mp1 = roundn(double((max(yt2)-1)),-6)*100
ts2

figure(2)
subplot(4,1,1)
plot(t,yt225)
title('二阶系统的阶跃响应曲线 - ξ = 0.25')
ylabel('y(t)');
xlabel('t');
grid on
axis([0 20 0 1.5]);
hold on
subplot(4,1,2)
plot(t,yt25)
title('二阶系统的阶跃响应曲线 - ξ = 0.5')
ylabel('y(t)');
xlabel('t');
grid on
axis([0 20 0 1.5]);
hold on
subplot(4,1,3)
plot(t,yt27)
title('二阶系统的阶跃响应曲线 - ξ = 0.707')
ylabel('y(t)');
xlabel('t');
grid on
axis([0 20 0 1.5]);
hold on
subplot(4,1,4)
plot(t,yt2)
title('二阶系统的阶跃响应曲线 - ξ = 1.0')
ylabel('y(t)');
xlabel('t');
grid on
axis([0 20 0 1.5]);
hold on