随机过程理论总结（持续更新）

预备知识：

和差化积：

积化和差：

积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。解释：

（1）积化和差最后的结果是和或者差；

（2）若两项相乘，后者为cos项，则积化和差的结果为两项相加；若不是，则结果为两项相减；

（3）若两项相乘，一项为sin，另一项为cos，则积化和差的结果中都是sin项；

（4）若两项相乘，两项均为sin，则积化和差的结果前面取负号。

第一章、概率与随机变量

定义：

统计描述：

一维随机变量：

二维随机变量：

分类：

第二章、随机过程概述

随机过程的数字特征

均值（数学期望）：

均方值：

方差：

自相关函数：

协方差：

平稳随机过程的数字特征：

复随机过程的数字特征：

平稳随机过程

严格平稳随机过程：

广义平稳随机过程：

平稳随机过程相关函数 RX(τ) 的性质：

样本函数的时间平均：

平稳过程的功率谱密度S(w)：

矢量随机过程

例题

由 随机过程 求 随机变量 ：

由 随机过程 求 分布函数 ：

由 随机过程 求 概率密度 ：

例1：

例2：

例3：

求 随机过程 的 均值函数 和 自相关函数 ：

证明 随机过程 是 一阶平稳过程 ：

证明 随机过程 是 平稳随机过程 ：

由 随机过程 求 均值、自相关函数、判断平稳 ：

由 随机过程 判断 是广义/狭义平稳随机过程 ：

证明 是广义平稳过程：

证明 随机过程的均值 是 各态历经的：

重点看看吧！！！

由 谱密度 求 自相关函数和均方值 ：

由平稳随机过程 求 **功率谱 ** ：

第三章、随机过程的线性变换

随机过程变换的基本概念：

线性系统：

随机过程的收敛性：

随机过程的均方连续性：

随机过程的均方导数：

均方导数的定义：

均方可微的条件：

均方导数的均值：

均方导数的相关函数：

可以考虑 τ = t1-t2；在等式后面乘 dτ/dτ；根据以下的方法推算：

均方导数的功率谱密度：

随机过程的均方积分：

均方积分的定义：

均方积分的可积条件：

均方积分的性质：

均方积分的积分变换：

均方积分的相关函数：

随机过程通过线性系统：

冲激响应法：

一般随机过程：

平稳随机过程：

平稳随机过程的频谱分析法：

白噪声通过线性系统：

频谱法：

冲激响应法：

噪声等效通频带：

白噪声通过RC积分器：

第四章、窄带随机过程

确定性信号的复表示：

1. 余弦信号的复信号表示

• 复表示能够给出相位信息

• 其频谱只在正频域存在，具有单边谱

2. 窄带信号的复信号表示

窄带信号：𝑓0 ≫ ∆𝑓

3. 任意信号的复表示

希尔伯特变换:

对于有限带宽信号

实随机过程的复表示

窄带过程定义及其同相、正交分量

nc -> 同相分量

ns -> 正交分量

自相关函数：

互相关函数：

规律谱：